If P and q are odd integers, which of the following is always even?

ধরি, P এবং Q হলো দুটি বিজোড় সংখ্যা (odd integers)। আমরা জানি যে,

    
• দুটি বিজোড় সংখ্যার গুণফল সর্বদা একটি বিজোড় সংখ্যা হয়। (যেমন: 3 × 5 = 15)
    
• দুটি বিজোড় সংখ্যার যোগফল সর্বদা একটি জোড় সংখ্যা হয়। (যেমন: 3 + 5 = 8)
    
• একটি বিজোড় সংখ্যা এবং একটি জোড় সংখ্যার যোগফল সর্বদা একটি বিজোড় সংখ্যা হয়। (যেমন: 3 + 2 = 5)

এখন, প্রতিটি অপশন বিশ্লেষণ করা যাক:

১. \(p^2 + q^2\)

যেহেতু P একটি বিজোড় সংখ্যা, \(p^2\) হবে বিজোড় × বিজোড় = বিজোড়।

যেহেতু Q একটি বিজোড় সংখ্যা, \(q^2\) হবে বিজোড় × বিজোড় = বিজোড়।

সুতরাং, \(p^2 + q^2\) হবে বিজোড় + বিজোড় = জোড়।

উদাহরণস্বরূপ, যদি P = 3 এবং Q = 5 হয়,

\(p^2 + q^2 = 3^2 + 5^2 = 9 + 25 = 34\), যা একটি জোড় সংখ্যা।

অতএব, এই অপশনটি সর্বদা জোড়।

২. \(pq\)

যেহেতু P বিজোড় এবং Q বিজোড়,

\(pq\) হবে বিজোড় × বিজোড় = বিজোড়।

উদাহরণস্বরূপ, যদি P = 3 এবং Q = 5 হয়,

\(pq = 3 \times 5 = 15\), যা একটি বিজোড় সংখ্যা।

অতএব, এই অপশনটি সর্বদা বিজোড়।

৩. \(p^2q\)

যেহেতু P বিজোড়, \(p^2\) হবে বিজোড় × বিজোড় = বিজোড়।

যেহেতু Q বিজোড়,

\(p^2q\) হবে বিজোড় × বিজোড় = বিজোড়।

উদাহরণস্বরূপ, যদি P = 3 এবং Q = 5 হয়,

\(p^2q = 3^2 \times 5 = 9 \times 5 = 45\), যা একটি বিজোড় সংখ্যা।

অতএব, এই অপশনটি সর্বদা বিজোড়।

৪. \(pq+2\)

আমরা জানি যে \(pq\) হলো বিজোড় × বিজোড় = বিজোড়।

সুতরাং, \(pq+2\) হবে বিজোড় + জোড় = বিজোড়।

উদাহরণস্বরূপ, যদি P = 3 এবং Q = 5 হয়,

\(pq+2 = (3 \times 5) + 2 = 15 + 2 = 17\), যা একটি বিজোড় সংখ্যা।

অতএব, এই অপশনটি সর্বদা বিজোড়।

উপরোক্ত বিশ্লেষণ থেকে দেখা যাচ্ছে যে, শুধুমাত্র \(p^2 + q^2\) সর্বদা জোড় হবে।